limit fungsi kelas 11 sma

Limit biasa digunakan untuk menyatakan batas. Artinya kita boleh mendekati batas tersebut tetapi tidak boleh mencapai batas tersebut. Misalnya, kendaraan tidak dapat digunakan jika bensinnya habis. Namun kita masih bisa menggunakan kendaraan ketika bensin mendekati habis. Limit menunjukkan kecenderungan nilai suatu fungsi jika batas tertentu didekati.

1. Definisi dan Pengertian Limit

1.1. Definisi Limit

Berikut adalah definisi limit menurut Austin Louis Cauchy:

Sebuah fungsi f(x) mempunyai  jika dan hanya jika untuk sembarang bilangan real  maka terdapat bilangan real  sedemikian hingga memenuhi:

 maka 

1.2. Pengertian Limit

Supaya lebih memahami pengertian limit, berikut disajikan contoh:

Perhatikan fungsi aljabar . Agar fungsi f(x) terdefinisi, nilai x dibatasi yaitu x ≠ 1. Jika batas nilai x tersebut didekati, akan diperoleh hasil bahwa nilai fungsi mendekati 3 seperti terlihat pada tabel berikut:

x	0,99	0,999	0,9999	0,99999	…	1	…	1,00001	1,0001	1,001
	2,9701	2,997001	2997	2,99997	…	-	…	3,00003	3,0003	3,003001

Pada kasus seperti di atas dikatakan limit  untuk x mendekati 1 adalah 3, ditulis: .

2. Limit Fungsi

 artinya nilai x mendekati nilai a (tetapi x ≠ a) maka f(x) mendekati nilai L.

2.1. Sifat-Sifat Teorema Limit Fungsi

1. 
2. 
3. 
4. 
5. Jika  dan  maka: 
6. 
7. 
8. , untuk 
9. Jika  maka:  untuk L ≠ 0
10. 

2.2. Menentukan Nilai dari Suatu 

1. Jika f(a) = k maka 
2. Jika  maka 
3. Jika  maka 
4. Jika  atau bentuk tertentu  maka sederhanakan bentuk f(x) sehingga diperoleh bentuk f(a) seperti (1), (2), dan (3).

2.3. Limit Fungsi Tak Terhingga

1. 
2.  Jika pangkat tertinggi f(x) sama dengan pangkat tertinggi g(x)
3.  Jika pangkat tertinggi f(x) lebih kecil dari pangkat tertinggi g(x)
4.  Jika pangkat tertinggi f(x) lebih besar dari pangkat tertinggi g(x)

3. Limit Fungsi Aljabar

3.1. Limit Fungsi Aljabar Berhingga

1. Jika f(a)=C, maka nilai 
2. Jika , maka nilai 
3. Jika , maka nilai  disederhanakan dulu menjadi bentuk 1, 2, atau 3

3.2. Limit Fungsi Aljabar Tak Terhingga

Menentukan nilai  atau :

1. Jika n = m maka 
2. Jika n > m maka 
3. Jka n < m maka 

4. Limit Fungsi Trigonometri

Untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri digunakan rumus-rumus berikut:

1. 
2. 
3. 
4. 

Kemudian, secara umum dapat menggunakan langkah-langkah cepat seperti di bawah ini:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Jika terdapat fungsi cos maka ubahlah ke dalam bentuk sebagai berikut:

1. cos x diubah menjadi 
2.  diubah menjadi 

Berikut adalah sifat-sifat teorema limit fungsi geometri lainnya:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Nilai

A. −1/4
B. −1/2
C. 1
D. 2
E. 4
(Soal Limit Fungsi Aljabar UN 2012)

Pembahasan
Bentuk 0/0 juga, ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini

Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya

2. Nilai dari

adalah...

A. 3/4
B. 4/5
C. 6/5
D. 5/4
E. 4/3
(Ebtanas 1992)

Pembahasan
Limit bentuk selisih akar kuadrat dimana
a = p
dengan b = 3 dan q = −5 sehingga tengok rumus di atas

 

3. Tentukan hasil dari soal limit berikut

A. 1/2

B. 1/3
C. 1/6
D. 1/12
E. 1/18
(umptn 2001)

Pembahasan
Tinggal di susun ulang, didapat hasil
 

4. Nilai

A. 4
B. 2
C. −1
D. −2
E. −4
(un 2012 A13 dan D49)

Pembahasan
Jika  1 − cos 4x menjadi  2 sin ² 2x, tentunya   cos 4x − 1   menjadi   − 2 sin ² 2x, sehingga

sekian dari penjelasan tentang limit fungsi, jika teman2 masih belum paham silahkan tinggalkan comment dan likenya jgn lupaa...

wassallamu alaikum wr.wb....